私は一人暮らししているのですが、運転免許証の裏に新住所を書いてもら

私は一人暮らししているのですが、
運転免許証の裏に新住所を書いてもらいたいのですが、
新住所はしっかりと住民票が今住んでるところにないといけないのでしょうか？

そうですよ。
運転免許証の住所の書き換えは、現在の住民票の住所の、住民票の写し、が必要ですよ。
住民として転入届けを出した自治体の役所に 住民票の写し、を発行してもらいます。

運転免許証の住所届は住民票の住所ではなく、現在住んでいる住所の届け出をしなければいけません。
つまり住民票が実家のA市のままで、現在住んでいるところがB市ならB市の住所を警察に届けなければなりません。届け出の際にB市の住所宛に届いた自分宛の公共料金のハガキ（請求書）を持参すればOKです。
住民票の住所と免許証の住所は管理する役所が違うので違っていてもOK。

現住所と本人の名前が記載された公共料金の明細書などがあれば、更新出来ます。