本籍地は秋田で現住所は埼玉なのですが、自動車教習所を卒業した後は、秋田

本籍地は秋田で現住所は埼玉なのですが、自動車教習所を卒業した後は、秋田県の免許センターに本試験を受けに行くのですよね？

住民票は埼玉県内にあるんですよね。
だったら本籍がどこでも鴻巣市にある埼玉県警察運転免許センターのみです。
秋田県の施設では受験できません。
免許の試験・手続で本籍地による管轄管理はしていません。
但し都道府県公安委員会で本籍地の管理はしていますし、
本籍地変更があったら届出なければなりません。
（免許証には記載されなくなりました）

住民票が埼玉であれば、鴻巣にある運転免許センターで試験を受けます。
本籍は関係ありません…… まあ、住民登録も秋田なのであれば秋田に受けに行かないといけませんけど……

何処の地域でも受験出来ますよ。