実家の東京から埼玉に引っ越しました。近々、住所変更しようとしてた矢先、免許

実家の東京から埼玉に引っ越しました。近々、住所変更しようとしてた矢先、免許証を無くしました。
免許証の再交付しなくてはなりません。再交付と住所変更を同時に出来ますか？
あと役所の手
続きが先でしょうか？

免許証の再発行や住所変更をする時、
必ず住民票が必要となると思います。
なので、まず役所へ行って住所変更の手続きをして住民票を貰い、
免許更新可能の警察署か、運転免許センターなどに行きましょう。
おそらく、１日あれば役所と警察署を回れると思いますよ。

住所移転が先ですね。
東京の旧住地で転出届
↓
埼玉の現住地で転入届→本籍記載付の住民票取得（直後なら無料で取れる自治体が多いです）
そしてそのあと、埼玉県警の然るべき窓口で免許証の再交付と記載事項変更の手続きです。
旧住所が県外だと受付締切時間が通常より早い窓口があります。