広島県在住で福岡に来た際に運転免許証を紛失したのですが福岡にて再交付する事は可

広島県在住で福岡に来た際に運転免許証を紛失したのですが福岡にて再交付する事は可能なのでしょうか。

福岡県に転入して免許証の住所も福岡県にすれば可能ですが、
それができないのであれば無理です。
住民票は移せないだろうし、
住民票以外に福岡県の住所を示す書類も無いだろうし、
福岡県の住所が示された本人確認書類も無いでしょう。
広島県で再交付の手続きをしてください。
福岡で失くしたのであれば福岡の警察に失くしたことを届けておいてください。
そうすることで後々面倒なことにはなりません。
今の状態で運転しても無免許運転にはなりませんが、
免許証不携帯の違反になります。

運転免許証の発行は、住所地を管轄している各都道府県公安委員会しかできません。
ということで、福岡に住民票を移せば、・・・・
あ、だめです、免許証の住所変更ができませんですから。
残念ですね。