免許の更新についてなんですが、普通自動車免許と自動二輪（中免）の免許を同時

免許の更新についてなんですが、
普通自動車免許と自動二輪（中免）の免許を同時取得した場合は初回の免許更新は3年ですか？

なんらかの免許を取得して、5年以内だと初回更新となって3年に免許証になります。
同時取得した場合も同様です。
初回更新を回避するんであれば、免許更新前に大型自動二輪やけん引を取得すれば、また免許証があたらしくなるので、更新を行なわずに済みます。
そして、その次の更新で免許取得から5年以上経過していれば、もう初回更新をうけなくても済みます。

同時に取得したとかは一切関係ありません。

運転免許取得後、最初の更新は、３回目の誕生日の一か月後までと決まってます。

３年というか３回目の誕生日までです。
だから２年と１日のときもあるし、３年たっぷりのときもある。

3年
正確には取得した日から3回目の誕生日の１ヶ月後まで有効の免許証がもらえる。
更新期間は有効期限が切れる２ヶ月前から有効期限が切れるまで。