不確かなことなので、確認させてください。昔、「排気量が２０００ｃｃ以下限定

不確かなことなので、確認させてください。
昔、「排気量が２０００ｃｃ以下限定の普通免許」というのは
存在していた時代があったのでしょうか？
３ナンバーは大型免許が必要と子供のころに聞いた記憶がありますので・・・
教えてください。

1500cc以下が運転できる小型四輪免許というものがありました。
昭和20年代ですが、この頃は排気量1500cc以下、長さ4.3m以下、幅1.6m以下、高さ2.0m以下が小型自動車の規格でした。
この小型自動車を運転できる免許として、小型四輪免許（小型自動四輪免許）という区分がありました。
なお、大型免許ができたのは昭和31年ですから、それまでは、大型自動車に相当する車両も含め、小型自動車の枠を超える自動車を運転するのに必要な免許は普通免許でした。
大型免許ができて以降も、大型免許が必要になるのは乗車定員11名以上の自動車、最大積載量5,000kg以上の貨物自動車ですから、乗車定員10人以下の普通乗用車（3ナンバー）は普通免許で運転することができました。
その後、昭和35年に小型四輪免許という免許がなくなり、普通免許に格上げされたのですが、審査を受けなければ、従来通り、小型自動車しか運転することができませんでした。
ただ、同じ年に小型自動車の規格が改められ、排気量2000cc以下、長さ4.7m以下、幅1.7m以下、高さ：2.0m以下となったことで、審査を受けなくても、2000cc以下の小型自動車を運転することはできました。
従来は審査（小四車）未済と記載されていたそうですが、現在は「普通車は2000cc以下の自動車に限る」という記載方法に変わっているはずです。

道交法と運送車両法の違いの為に判り辛い処ですね。
今現在の運送車両法で言う「自動車」ってのは軽自動車と小型自動車と特殊車両以外の車両全てが「普通自動車」になります。
つまり運転する為には大型免許が必要な10tダンプや観光バス等も車両法では「普通自動車」って事。

質問者さんの子供のころというのが何年前のことは解かりませんが
今から30年前ごろは3ナンバーは普通免許で運転できていました

エンジンの排気量と免許(区分)は無関係です。
何かと勘違いしているね！・・・昔の普通免許証なら現在は中型８t限定免許ですね、
車輌総重量８ｔ以下で定員10名までなら運転出来ますよ。

360cc以下の限定免許というのはありました。
2000ccってのは初耳です。

そんなこと無いですよ。
うちのオジサンなんか原付免許しか持ってないのに、アメリカのデカイトラック乗ってたので。