引っ越しした次の日に、レンタカーを借りて転入届の提出と免許証等

引っ越しした次の日に、レンタカーを借りて転入届の提出と免許証等の住所変更や買い物に行こうと思っています。
レンタカーを借りる時に、免許証と現住所がわかる証明書が必要だと思いますが、
レンタカーを借りている途中で住所が変わっても大丈夫でしょうか？
おわかりになる方いらっしゃいましたら、教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします。

何も難しく考えることはありません。
運転免許証を提示してレンタカーを借りればよろしいです。
その時点でレンタカーの借りる契約は成立です。
途中で住民票を異動しても関係ありません。

何が有っても、本人確認が公的機関で取れればOK。