運転免許更新時に交通安全協会に寄付をしなければ更新連絡書は届かな

運転免許更新時に交通安全協会に寄付をしなければ更新連絡書は届かないのでしょうか？

寄付ではなく、入会金と会費ですね。
交通安全協会費は、かつては加入が義務かのように、
更新手続きの流れ作業で会費を強制徴収していましたが、
悪質な手法が問題視され、今は任意であることをきちんと
説明するように是正勧告がなされました。
メリットは・・・人によってはありますが、
大抵の人にはほとんどメリットはありません。
ご質問への回答ですが、
更新連絡はがきは安全協会と無関係です。
よって
・入会しない＝ハガキがとどかない
ということではありません。
ただし、ハガキも必ず届くものではありません。
私自身がそうですが、
更新連絡はがきが届かないことも普通にあります。
そもそもハガキは免許更新に必要な書類でもなく、
免許の有効期限は、「自分の誕生日の１か月後」
となっているので、忘れようがないようになっています。

葉書は届きますが申請書を書いてくれません。

いつ時代の方ですか？
大昔はそんなことになっていましたが、今は都道府県の公安委員会が対象者全員に発送していますから、そんなことはありません。
安全協会が更新のお知らせを出していたのは30年以上も前の話でしょうね。
私が免許証を取得した頃はハガキが来ないので、自分でしっかりと有効期限を把握していたものです。（誕生日が期限でしたしね）

交通安全協会とやらにお金を払った事はありませんが、更新連絡はがきは毎回届いています。

交通安全協会にお金を支払わなくても、更新連絡書は届きます。

更新の通知は、「公安委員会」の名義で来ます。安協ではありません。
ですから、安協に寄付をしなくても大丈夫ですよ。