数ヶ月前に車の買い替えで下取りに車を出しました。出した中古車販売店に

数ヶ月前に車の買い替えで下取りに車を出しました。
出した中古車販売店に「店頭に出すのか」と聞いたらオークションに出すと言われてました。
ここで質問なんですが
① 下取りに出した時点で２週間以内に名義変更をしないといけないと思うのですが渡しの場合は下取り車の名義変更はいつのタイミングになるのでしょうか？
② 下取りに出す時にいつまでも私の名義のままになるのは気分的にも嫌なので、名義変更をしたら名義変更をしたという書類みたいなのが欲しいと言ったのに車を中古車販売店に引き渡してから１ヶ月半経つのに音沙汰が無いので、数日前に電話したら、「車はオークションで売れた」「あとは業者からの連絡待ち」ですと言われました。
③ 私が痺れを切らせて電話したらその返答とその後の対応が悪いのですが、予想される今の車の名義は実際はどこなのでしょうか？
オークション落札業者？それとも車の購入者？
一番嫌なのは私の個人情報の種類はどうなってるのでしょうか？
ちなみに車は軽自動車ですが人気車で下取り金額は100万です。
引き渡した中古車販売店ではオークションに出したら直ぐに売れたと言ってました。
売れたんなら直ぐにでも、とりあえず落札されたので売れた旨と私が一番気にしていた名義変更の今後の説明が欲しかったのが気がかりです。
質問が色々、逸れましたがオートオークションの仕組み、名義変更の手順など詳しい方、ご教示頂けたら幸いです。

オートオークションにおいて落札者の名義変更期限があります。
例えば大手のUSSであれば翌月末までです。
すぐ売れた、1ヶ月半音沙汰無し、から推測すると6月上旬開催のオークションで売れたので、今月末が期限になるハズです。
また期限も名義変更したよ、という報告期限なので既に名義変更していても月末まとめて報告してくる車屋さんもありますから、既に変更済みかもしれません。

まっとうな中古車チェーンであれば一旦車屋の名義にして
元所有者との関係性を切りますが
別にそれが標準ルールというわけでもありません。
現実には中古車屋はピンキリで有象無象や魑魅魍魎が跋扈する世界なので
あなたの名義のまま次のエンドユーザーまで廻り、その時点で名義変更される
なんていうケースもごろごろしてます。
③まだあなたの名義のままだと思います。
②の依頼の仕方があまり良くありません。
複数業者間を渡り歩くことになるので責任の所在が権限が
あやふやになり確実に約束を守らせることが保証できません。
最終的に名義変更を期限内にできないと落札業者がペナルティ
食らうように出来てるのでそういった事故が起きるのは稀です。

あなたがそのへんを気に掛けるようなら
一旦車屋の名義に書き換えるというスタイルでやってる業者に
売るべきでした。

下取り車、名義変更しなければその後の処分が出来ないので、下取り業者は素早く名義変更するはずですよ。貴方が書類を渡しているなら心配は無用です。