運転記録証明書について運転記録証明書が少しでも早く欲しいため、免許セ

運転記録証明書について
運転記録証明書が少しでも早く欲しいため、免許センターで申し込み手続きをしようと考えています。
ここで、自分の今の免許証の住所は埼玉県内です。しかし、つい昨日
東京都内に引っ越しました。
埼玉県内で転出届を提出済みですが、まだ転入届は出していませんし、免許証の住所変更手続きはしていません。
明日埼玉県内に用事があるのでついでに埼玉の免許センターに行って運転記録証明書の申し込みをしたいのですが、上に書いたこの状況で申し込みはできるのでしょうか？
運転記録証明書は住民票のある県内の免許センターでしか申し込めないのか？(早く欲しいため郵便局での申し込みは考えてないです)
転入届を出していなくても転出届を出してしまったらその県に住民票は無い事になるのか？
という2点も不明です。
質問が多いですがお分かりの事がありましたらお答えいただけると嬉しいです。

居住地以外でも、各都道府県の運転免許センターで取ること
が出来ます。 ただし、即日交付はされていません。
運転免許の住所変更は、同一の公安委員会であれば、新住
所に配達された消印済みの郵便物・保険証などがあれば、新
しい住所の住民票が無くても住居変更の手続きが出来ました
が、公安委員会が移る際については不明です。
転出届けのされた住民票は、現住無しとして扱われると思い
ます。

先の回答にもある様に、運転記録証明書は免許センターで手続しても即日交付はされていません。後日郵送という形になります。申請自体は埼玉でも東京でも申請用紙があればどこでも申請は出来ます。
運転記録証明書は手続してから約1週間程度で届きます。新住所に1週間で居住されるのであれば、運転記録証明書申請時に新住所を記載すれば、新住所に運転記録証明書が郵送で届きます。