初回の免許更新のハガキが来た後にスピード違反をしてしまいました。この場合、

初回の免許更新のハガキが来た後にスピード違反をしてしまいました。
この場合、免許更新をしてから警察署へ出頭した方がいいのでしょうか？
出頭を下されたのは13日で、免許更新の期間は5月1
1日までです。

どちらでも構いません。
既に更新通知のはがきが来ているのであれば更新内容は既に決定されていますので今回の違反により更新の区分（優良、一般、違反、初回等）に影響を与えることはありませんから。
但し今回違反は今回の更新ではなく次回の更新区分に反映されることになります。

出頭期限ないにいけば問題ないですよ

更新してからでもいいんじゃない。出頭は。