引っ越しをするのですが、運転免許証について質問があります。住所が変わるので

引っ越しをするのですが、運転免許証について質問があります。住所が変わるので、手続きが必要かと思いますが、その手続きは、引っ越し先の警察署か、運転免許更新センターのどちらかでやるんで
すよね？
その場合の手続きは、すぐ終わりますかね？
また、印鑑などはいりますか。

どちらでもかまいません。
転入届を出した時に住民票ももらいます（1通200円～400円）。
転入届が入力でき次第発行してくれます。
その足で最寄りの警察署に行くのが効率的です。
住民票は返却してくれますので使いまわしも出来ます。
すぐに手続きは終わります。
手数料は無料です。
「記載事項変更届」という用紙に記入します。
一応100均のものでよろしいので認印は用意してください（府県によって違います）

警察署が便利。まずは新旧住所が載った住民票を複数枚ゲットしておこう。

住所変更の手続きは通常、運転免許試験場でも最寄りの警察署でも可能でしょう。試験場にいかなければできない、と言う話は聞いた事がありません。ただ、質問者さんが「運転免許更新センター」と言っている窓口が、優良講習対象者向けの更新専用窓口のことを言っているのであれば、そこは期限切れ更新のための専用窓口で、住所変更だけの手続きは受け付けていないでしょう。
いずれにしても、運転免許は各都道府県の公安委員会(実務は警察)の管轄で、手続きには独自な部分があります。必要な書類などの含め、引っ越し先の警察のホームページなどで確認をしておいたほうがいいでしょうね。
住所変更では免許証を新しくする訳では無く、今ある運転免許証の裏側に新しい住所を記入するだけの手続きなので、何かで立て込んでいない限り、1時間もかからずに終わるでしょうね。

引っ越し先の警察署に住民票と免許証を持っていくとよかったですよ。

引越し先の警察で可能です。
引越ししてからその場所すで公共料金の支払いの請求がくると思いますので住所のはいっている受領証を持っていき変更してください。
例
水道料金、電気料金など