運転免許の更新をしないといけないのですが、最近近くの県に引っ越して、

運転免許の更新をしないといけないのですが、最近近くの県に引っ越して、住所が変わりました。住民票は移しました。
県を跨いでも経由更新ができることは分かっているのですが、「免許証記載事
項の変更を同時にする人は経由更新できません」と書いてありました。
更新案内のハガキはすでに実家に届いてしまっていて、もう更新期限まで１ヶ月を切っているのですが、先に警察署に行って免許の住所変更を行ったら現在住んでいる県で更新できるでしょうか？

別にハガキは、必要ありません。
一度も持って行った事は、ないです(笑)
同時に可能ですよ。
更新時に新しい住民票をもって行って、受け付けで言えば、やってくれます。
実際に面倒でまとめてやりましたから。

運転免許の更新続きと、運転免許の住所変更は、同時に行うことができます。
新住所地の運転免許センター（警察署）に「新しい住所が確認できる書類」（新住民票）を持って行けばいいです。
受付時間が府県によって異なりますので、下記で確かめてください。
http://www.menkyo.car-u.co.jp/zenkoku.html

新住所地で住所変更と更新を1回でやればいい。
更新手続きのときに、新住所を証明する書類を提出するだけです。

住民票を提出して住所変更（記載事項変更届）と運転免許更新とを一緒にすればよろしいです。
更新連絡ハガキがなければ違反などの有無を確認したりするのに多少の時間がかかるだけです。
すでに住民票を異動していますので経由更新は出来ません。
先に警察署で住所変更をしてからなどと二度手間をする必要はありません。