免許更新に関しまして、初めての免許更新なのですが、元々埼玉の住所で免許更新の

免許更新に関しまして、初めての免許更新なのですが、元々埼玉の住所で免許更新のハガキが来たあと、現在千葉に住所を移し千葉県民になった場合埼玉の住所のハガキを持って千葉の免許センターに
行って大丈夫ですか？同時に住所と名前の変更もできますか？
それとも埼玉で更新しなければなりませんか？

千葉で更新と記載事項の同時処理が可能です。
更新時に記載事項変更
免許センター
http://www.police.pref.chiba.jp/menkyoka/licence_update-center_01.html
警察署
http://www.police.pref.chiba.jp/menkyoka/licence_update-police_01.html

更新はがきは、更新に必要なものではありませんから持って行かなくても大丈夫ですよ。
下の回答者様の言うとおりで、住所変更と更新手続きを同時に行えば大丈夫です。

運転免許の更新は、その運転免許を発行した公安委員会が行います。あなたの運転免許証が埼玉県の発行なら、埼玉県でしか更新はできません。
ただし、運転免許証の住所を変更することで、変更先の住所を管轄する公安委員会で更新手続きをできます。通常は、転居した時点で一旦警察署などで運転免許の住所変更手続きをし、それから更新に臨みますが、大抵の都道府県で、更新と同時に住所変更をすることが可能です。
千葉に住民票を移転済みであれば、住民票の写しを取得して、千葉の更新手続きの窓口に行きましょう。

現在千葉に住所を移し千葉県民になった場合
住民票を新住所に移して
新しい住所地の管轄
新しい住民票を持参して
・免許センター(即日交付)
・免許を扱う警察署(即日交付不可)
・県の試験場(即日交付)
などで運転免許更新可能

住民票は変更してますか？
変更してなければ埼玉の方がいいですし、移していれば本来なら移したときに千葉の警察に行き免許証の住所を変更しておくことが必要でした。