自動二輪免許所持で普通免許を取っているのですが、卒研後の免許

自動二輪免許所持で普通免許を取っているのですが、卒研後の免許発行は更新センターでできるのでしょうか？
試験場じゃないと無理なのでしょうか？
教えてください。
土日にできる方法があるならそれも教えてください。

都道府県によって、運転免許試験場をそのまま「運転免許試験場」と言うところもあれば「運転免許センター」というところもあります。
また、試験場とセンターとが別にあるところもあります。
現有免許に新たな免許を加えることを「併記」といいます。
あなたの場合、技能試験や学科試験は免除になりますが「併記」は形式上、「試験を受ける」ということになるので、「試験場」もしくは「センター」だけです。
しかし、試験場にしろセンターにしろ、運転免許の交付は平日にしか行えません。つまり、土日祝日は試験は行っておりません。
あなたの住む都道府県が、試験場と称するのか、センターと称するのかは、都道府県警察のHPなどに記載されていると思います。

卒研＝卒検ですよね？
これは、新たに免許の取得になるので、試験センターだけの手続きですね
土日に新規の免許の取得手続きは出来ないです（まれに事前予約で受験できる都道府県がある）

貴方のやろうとしている事は「併記」と呼ばれる申請である。
更新センターって、おそらく更新しか受け付けていないと思う。一般的に考えてそこでは無理。「併記」はあくまでも試験なので、試験場でしか受け付けてくれない。残念ながら土日に出来る方法は無い。（一部の試験場はやっているらしいが・・・）

免許の取得手続きは「更新」ではなく「試験」ですので、更新専用の窓口では手続きできませんよ。神奈川県の普通自動車免許の学科試験を日曜日に予約制でしているなど、ごく一部の例外を除いて、試験は平日にしか行われていません。

Ｑ. 卒研後の免許発行は更新センターでできるのでしょうか？
Ａ. 基本的に車種追加（併記）は適性試験を伴ったものですので、運転免許試験場、もしくは運転免許センターの平日でないと実施をしていません。