免許の更新について質問です！ - 引っ越して一人暮らしをしてます！免

免許の更新について質問です！
引っ越して一人暮らしをしてます！
免許の裏に引越し先の住所を記載してもらい
その状態で普通自動2輪の卒業証明書を教習所にて取得！
取得後に引っ越してしまいました
この場合市役所にて住所変更をして住民票を
受け取り免許センターに行けばいいのですか？
因みに、教習所から受け取った免許センターに持っていく
資料には前のアパートの住所が記載されています
埼玉県です補足回答していただいたのにすみません補足します
更新ではなく書き換え？？です
普通二輪を取得したので更新はしません
今の免許に普通自動二輪を書き加えます！
それと、住所変更をし住民票を免許センター持っていけばいいんですよね？？
管轄内の警察署で住所変更の手続きはしなくても平気ですか？？
さらに書き換え？？はどのくらいの所要時間がかかりますか？
大雑把でいいので参考程度にお願いしますm(_ _)m

その流れで問題なく新住所での免許証が交付されます。
卒業証明書の住所は旧住所のままで構いません。