免許更新と引っ越しについて教えて下さい。福岡県から熊本に引っ

免許更新と引っ越しについて教えて下さい。
福岡県から熊本に引っ越ししました。
免許の更新のハガキが届きました（福岡県の免許更新のハガキが前住所から転送されて来ました）
更新は福岡
県か熊本県どちらに行けばいいでしょうか？
出来れば、福岡県の方に行きたいのですが、いいでしょうか？

転居先の熊本で更新してください。
住民票か、健康保険証が必要です。

更新ハガキを持って福岡県の免許センターに行けば福岡で更新できます、、住所など変わりないですか？と聞かれることがありますが、ハイと答えれば大丈夫です、、ただ、違反をした場合、福岡県で手続きになります、、

免許証の住所を変更しないのであれば福岡県で、更新時に熊本県に変更するのであれば熊本県ですることになります。

「免許更新通知はがきは転送不要なので転送されない」との回答がありますが、お住まいの都道府県によって「転送不要」扱いの地域とそうでない地域があるようです。
当方東京都ですが旧住所宛の免許更新通知はがきが郵便局への届け出に従い転送されてきました。

「免許の更新のハガキが届きました（福岡県の免許更新のハガキが前住所から転送されて来ました）」
実家の誰かがあなたに送ってくれたのでしょうかね。免許更新の通知はがきは転送不可なので、警察が把握している住所に住んでいなければ、警察に返送されます。
「更新は福岡県か熊本県どちらに行けばいいでしょうか？」
法的には、住民票が移動した時点で、運転免許の住所も変更しなくてはなりません。あなたが熊本に転居し、住民票もそこに移しているなら、熊本県の更新窓口で、住所変更手続きと合わせて、更新手続きをする必要があります。
ただ、警察は住民票の移動を強制する立場にはありませんので、あなたが福岡県内に住んでいると言い張り、またその住所が実家などで郵便での連絡がつくのであれば、あなたが福岡県内で更新手続きを取る事を妨げたりはしません。
熊本県の運転免許の更新手続きは、下記のいずれかで可能です。
・菊陽町の運転免許センター
・熊本北、熊本南、熊本東、大津、御船署を除く警察署と、氷川幹部交番
警察署と交番では、受付は平日のみで、講習は後日実施、免許証も後日交付(約4週間後)です。免許センターは日曜もやっていて、講習も当日実施、免許証も当日に交付されますから、多少遠方でも免許センターで更新したほうがいいですね。