免許証の住所変更をしたいのですが、住んでる市が管轄している警察署じゃないとで

免許証の住所変更をしたいのですが、住んでる市が管轄している警察署じゃないとできませんか？

市が管轄している警察署というのはありませんよ。警視庁を除いて普通、警察署は道府県が管轄しています。
住んでる市を管轄に含む警察署なら話はわかります。なので免許センターに行かないなら、あなたの住んでいる市町村が管轄内にある警察署へ行ってください。

都道府県の免許センターなら、問題なくできるとは思いますけど。。。

その通りです