先日免許証を紛失してしまいました。免許証の再発行がしたいです

先日免許証を紛失してしまいました。
免許証の再発行がしたいです。
免許証を発行したところが福島県で
住民票が現在埼玉県にあるのですが
まだ免許証の住所変更を行なっておりません。
また引っ越すことがあるかも知れな
いので
できれば福島県のまま住所を変更したくないのですが
免許証を再発行する場合は
必ず埼玉県の免許センターで住所変更と発行手続きを行わなければならないのでしょうか？
福島県の免許センターでも可能でしょうか？

>また引っ越すことがあるかも知れないのでできれば福島県のまま住所を変更したくない
この認識は間違っています。
運転免許証の住所は実際に住んでいるところにしておかなければならず、引っ越しをすれば、その都度、すみやかに警察署等で住所変更の手続き（記載事項変更手続き）を行う必要があります。
住民登録は埼玉県内ということですが、現在住んでいるのが埼玉でしたら、埼玉県で再交付手続き、福島県に住んでいれば、福島で再交付手続きを行ってください。
埼玉（本籍記載の住民票の写し1通必須）
http://www.police.pref.saitama.lg.jp/f0110/menkyo/saikohu.html
福島
http://www.police.pref.fukushima.jp/04.menkyo/-2saikouhu/29.3.12saikouhutetuzuki.htm

先日免許証を紛失してしまいました。 免許証の再発行がしたいです。
基本的に
運転免許証に記載された住所の管轄の
免許センターで可能
住所が違う場合は
住民票を取ることが出来る
免許センターで可能

再交付の手続きは、免許証の住所のある試験場（や警察署の免許窓口）などで行います。
なので、住所の変更をしない限り、埼玉県の鴻巣試験場などになります。

住民票が埼玉県なので埼玉県で手続きする事になります。

まだ警察に紛失届け出していないんですか？
何は無くても紛失届け出しましょう。
不法行為に使われる危険性が有ります。その際に再発行はどうすれば良いのか聞けば正しい事を教えてくれますよ。