実家Aを離れて転勤商売でＢ,C,D,Eとちょっこちょこ住所が変わった（住民票

実家Aを離れて転勤商売でＢ,C,D,Eとちょっこちょこ住所が変わった（住民票）場合に
車の免許証はそのままで実家の住所（戸籍の住所と同じ）のままにしてあった
場合。
そろっと現在の現住所Eに免許証の住所を変更届けする場合に
途中の，Ｂ，Ｃ，Ｄの経過や繋がりを証明させられるのでしょうか。
それとも現住所Ｅさえ証明すればいいのでしょうか。

すべての住所のつながりを証明する書類が必要ですね。
下の方が書かれている戸籍の附票でも構いません。
住民票や住民票の除票を集めても構いません。
いずれにせよ、つながりの証明は必要です。

証明しないと変更できません。
戸籍の附表があればOKです。