免許証の更新についてです。私は茨城県が本籍で、普通自動車の免許を持っ

免許証の更新についてです。
私は茨城県が本籍で、普通自動車の免許を持っており、今回が初回の更新で5月2日までにしなければなりません。
それと同時に、今回教習所で普通自動二輪の教習
を受け、卒検にも合格し卒業することができました。
そこで質問なのですが、茨城県の免許センターで、普通自動車の更新と普通二輪の新たな免許の交付、同時にできるのでしょうか？
よろしくお願いします。

普通二輪を取得（教習所を卒業）したのなら更新の必要は有りません
5月2日が有効ならば誕生日がすぎてると思うので早めに併記手続きを
しましょう、ちなみに誕生日前だと一日でも前だと誕生日まで1年と
みなされ有効期間がほぼ1年短くなります、私は4年前に大型二輪を
取得し誕生日前に併記を行ったため4年の有効期間になり今丁度
更新時期の入りました、併記は試験と同じ扱いなので土日祝日を除く
決まられた時間のみ可能で午前と午後だったりどちらか一方のみと
言う試験場もありますから要確認私のところは午後の決められた時間
だけです、流れ的には申込み→視力検査→写真撮影→交付ですが
2時間程度かかります、ちなみに住民票記載地の管轄試験場でしか
手続きはできません。

質問者さんの本籍地がどこにあるかは関係ありません。現住所(住民票の所在地)が茨城県であれば、茨城県内で更新手続きや受験の手続きができます。
手持ちの免許に新たな車種を追加する手続きは「併記」と言いますが、更新と併記は同時にはできません。と言うより、更新期間中に併記手続きを取れば、免許証の有効期限が3回目または5回目の誕生日の1カ月後に変わるので、更新する必要がなくなります(更新期間でなくなるので更新できなくなります)。更新期間中の誕生日以降に併記手続きをしましょう。更新時講習を受ける必要もなくなりますよ。
更新手続きを先にし、その日のうちに併記手続きをする、と言う方法も、窓口の受付時間が許すなら不可能ではありませんが、更新手数料を支払って新しい免許を手にして、それをすぐに返納しまた交付手数料を支払って併記された免許証を受け直すと言う、費用的にも時間的にも無駄な行為をすることになります。
なお、更新手続きは日曜でもできますが、併記手続きは平日にしか出来ません。