自動車の第二種の運転免許が必要な車というのは、バスとタクシーくらいで

自動車の第二種の運転免許が必要な車というのは、バスとタクシーくらい
でしょうか？
また「原付二種」という言葉も聞くのですが、これは原付バイクにも二種
免許がある、ということなのですか？

二種免許はバスやタクシーなど乗客を乗せて運転するのに必要な免許。
原付き２種は道路運送車両法での区分です
第1種原動機付自転車→50cc以下
第2種原動機付自転車→50ccを超え125cc以下
になります。
運転免許を定めるのは道路運送車両法ではなく道路交通法なので別物です。
ちなみに間違えが後を絶ちませんが「50ccを超え」なので50cc以上ではないし51cc以上でもありません。

適当回答です。
原付二種についてはほかの回答者さんがかいていることであっていると思います。

積雪（豪雪）地域でスノーモービルや雪上車で旅客（お金をもらって）人を運ぶ運転を（公道で）業務でをするなら、バスとタクシー以外（小型特殊、大型特殊？）でも必要になるかもしれませんね。（そうなったら、その場合の免許を取る人のために公安委員会が免許の条件を付けくわえて）
脳内想像の適当回答です。

一部の介護・役員送迎や代行運転では必要ですね。
原付２種は全く別物なんで関係ありません。

バイクに二種免許はありません。原付二種は車両法の用語で、道交法とは関係ありません。
二種免許が必要な「車」は、バスやタクシー以外にも、高齢者の移動サービスなどに存在します。要は、有償旅客運送事業で運転する車かどうか、です。なので、運転代行で他人に運転して貰う自家用車も、代行中なら二種免許が必要な車です。
ただ、運転代行サービスには二種免許が要りますが、随伴車は客を乗せる訳ではないので、二種が必要な「車」にはなりません。

自動車の『運転代行業』も客（この場合自動車の持ち主）を乗せるため必要。

道路運送車両法と道路交通法で対象車両の呼び方が違うからこの手の質問が絶えないよねw
運転免許は道路交通法の範疇で二種免許はこちらでの旅客業務に必要な免許の事、原付二種は道路運送車両法で言うところの50ccを超えて125cc以下の車両の事。
日本では自動二輪車の旅客業務は無いので、これの二種運転免許はありません。