免許センターで本免を受ける時に必要な住民票の写しは半年以内のものと聞

免許センターで本免を受ける時に必要な住民票の写しは半年以内のものと聞きました。
住民票は重要書類では3ヶ月以内のものを使うことが多い感じがします。本当に半年以内のもので良いのでしょうか。

その場合の半年とは取得から三ヶ月以内提出までに三ヶ月の猶予が残っている状態を指します

https://www.police.pref.kanagawa.jp/mes/mes83010.htm
上記は、神奈川県の運転免許センターでの試験手続きの説明です。
神奈川県でも、「本籍（外国籍の方は国籍）が記載されている住民票の写し（６か月以内のもの） １通」とありますから、6か月以内の住民票でいいのでしょう。
どれくらいさかのぼるかは、要求する窓口が決めることです。
あまり古いと記載内容の信ぴょう性が損なわれますし、かといって、最新のものを要求すると手続きを行う人に不便を強いることになります。
警察が6か月と言っているのですから6か月以内のものであれば問題はありません。

公認教習所卒。
揃えてもらった書類一式に入校時に提出した住民票の写しが入っていて、それが半年どころか相当古い物になってしまっていた。
入校時は新しい物だったのに…………月日はめぐるのね……………。

もしそうだったら気にせず持ってけ。それで事足りる。
試験場も、公認校卒には四の五の言わない。
今、問題になるのは卒業証明の１年間だけ。

「聞きました」がその試験場の職員からのものであれば、そうなのでしょう。
「聞きました」が信頼できない相手からなら、鵜呑みにせずに確認しましょう。住民票の写しに有効期限は存在しません。受け入れる側がその発行日に制限をかけるかどうかは、受け入れる側の任意です。扱いは全国一律ではありませんので、提示する試験場に確認が必要です。3カ月や6カ月の制限をすることも、全く制限をしないことも、一般的に行われます。

｢聞きました｣を
免許センターに確認すれば済む話。

「書類は発行から3ヶ月」
よく言われることですが、実際はそういった書類の有効期限は一切定められていません。
つまり、あくまで受け取る側が決めているに過ぎません。
ですから、お住まいの都道府県の免許センターが、発行から半年以内と言っているのなら、それで何の問題もありません。