ATの免許を取得するため教習所に通い、最近卒業しました。 - 卒業の時

ATの免許を取得するため教習所に通い、最近卒業しました。
卒業の時もらった紙に（その場で少し説明も受けました）卒業証明書は1年、技能審査合格証明書は3ヶ月の有効期限があると書かれていました。
技能審査合格証明書の紙はいただいてないのですが、ATの免許取得のため初めて教習所に通っていた私には関係ないのでしょうか。

AT限定免許を取得したということは、卒業証明書と技能検定合格証明書が一葉になったものをもらったと思います。
「技能審査合格証明書」とは例えばAT限定免許を取得した人が、後々にAT限定を解除する時に行う「解除審査」に合格した時にもらうものなのでとりあえずあなたには関係のないものです。

３ヶ月は限定解除その他。
質問者さんの場合は１年間。
とはいえサクサク本免にしちゃえ。

あなたの場合は卒業証明書のみです。
下の方に担当検定員の印鑑と名前上の方には管理者の名前と学校の印鑑がおされていると思います

ATまたは、MTで卒業した人は卒業証明書
ATからMTに限定解除した人は技能審査合格証明書です。
別に印刷するより便利だからやってるだけです。