先月速度超過で一発免停になり、現場で赤切符をもらいました。10月9

先月速度超過で一発免停になり、現場で赤切符をもらいました。10月9日に略式起訴を受け、罰金を支払いました。その時の意見の聴取の際に、免許センターからハガキが届いているかの確認がありま
したが、まだ届いていない旨を伝えると、あと1週間程で届くと思うという回答があり、今後はそのハガキに従って下さいとのことでした。
しかし、未だに届きません。しかも赤切符には免許の有効期限10月25日となっています。
この場合、ハガキが届かなくても免許を預けることは可能なのでしょうか？
またハガキが実際に届くまでは赤切符に書かれている有効期限を過ぎても運転しても良いのでしょうか？

赤切符に記載されている有効期限というのは、免許証保管証つまり、運転免許証代わりとして通用する期限になります。
指定通りに検察庁（裁判所）へ出頭しないと有効期限が切れてしまい、運転ができなく（運転免許証不携帯になります）なりますから、少々ずるいやり方ですが、検察庁への出頭を担保するために有効期限が記載されます。
質問者さんの場合、既に検察庁への出頭を済ませておられますので、赤切符の免許証保管証としての役目は終わっており、記載されている有効期限はもう関係ありません。
返還を受けた運転免許証が有効期間内であれば、引き続き運転を継続することができます。
行政処分の出頭通知書はそのうちに届くと思いますが、免許停止処分は実際に出頭して運転免許証を預けて処分を受けて初めて開始するもので、自動的に処分が始まることは一切ありませんから、通知の心配はせずに運転は継続してください。
ただし、処分を受けるまでに追加の違反をすると処分が重くなる場合がありますので、その点には注意してください。
>ハガキが届かなくても免許を預けることは可能なのでしょうか？
30日または60日の処分の場合、通知が届いた後、処分を出頭指定日より前倒し（停止処分者講習実施日の問題があるので、要電話相談）することは可能だと思いますが、通知が届いていなければ、事務処理が済んでいない可能性が高く、まだ処分を受けるのは難しいでしょう。
90日以上の処分の場合は、意見の聴取が実施されて処分が正式に決まりますので、通知の出頭指定日（=意見の聴取実施日）以降でなければ処分を受けることはできません。

>この場合、ハガキが届かなくても免許を
>預けることは可能なのでしょうか？
不可能です。
>またハガキが実際に届くまでは赤切符に
>書かれている有効期限を過ぎても
>運転しても良いのでしょうか？
有効期間内の運転免許証がお手元にあるのであれば
問題ありません。
なければ運転はできません。
ですが仮に運転をしたとしても、
違反行為としては無免許運転ではなく、
免許証不携帯という扱いなので、
重い処分が追加されることにはなりません。
質問者さんが運転できなくなるのは、
あくまでも公安委員会が免停なり免許取り消しの
ために免許を取り上げた時点から。
警察に処分の権限は基本的にないんですよ。
なので免許証変わりの赤切符を違反者に
渡して運転する資格と権利を警察が
取り上げることはありません。
ですが公安委員会の処分までは時間がかかります。
なので、
・こないだの元モー娘のような危険な犯罪者
や、
・公安委員会からの免停や免許取り消し処分を
無視して運転しているような輩
に関しては、「運転させたら危険」という判断から
警察が独自に免許を停止させたりすることはあります。
でも基本的に処分を行うのは公安委員会で、
免許証を取り上げられるまでは運転は合法です。