国際免許証についての質問です。現在アメリカの大学に留学しています。

国際免許証についての質問です。
現在アメリカの大学に留学しています。
日本国内の免許証の有効期限：2020年の1月末
国際免許証の有効期限：2020年5月9日
なのですが、アメリカ国内（フロリダ州）で運転できるのは1月末、もしくは5月9日のどちらになるのでしょうか？

正論を言うなら、1月末だろうね。でも、そもそも「どちらになるのか？」という問題より、国際免許は日本の免許を持っているから発行できるもの。だから、日本に帰ってきて日本の免許更新をすることが最優先だと思う。それが切れたら大変になるのは分かるよね？
アメリカドライブの経験は数回しかないけど、一度だけ検問に引っかかって免許の提示を求められたことがある。私の場合は、国際免許とパスポートを見せたら大丈夫だった。でも、海外で運転時には、国際免許と日本の免許の両方を携帯するのが義務付けられているハズだから、警察官が「日本の免許も見せろ」と言われたら、２月以降はヤバイだろうね。

確か国際免許はオリジナルの免許証に基づいた翻訳文でしかないのでオリジナル(国内の免許証）の有効期限が切れればその国際免許証の有効期限は無意味なものになるはずです。ちょっと昔なら西暦が一切記載されていないのでオリジナルだと有効期限や免許の種類などを説明するのが非常に難儀なのであった方が望ましいという意味合いで、厳密には短期滞在者はオリジナルだけで乗れたはずです。
あとアメリカだと中、長期滞在者は自州の免許取得が必要な州もあったはずです。カルフォルニアは州内に住所を定めてから10日以内、多分フロリダもそんな感じです。留学ビザだと短期扱いではないのでは？？

1月末まで。

厳密には日本の免許が切れるまでですが国際免許に書いてある日にちまで出来るでしょう。

どちらでもありません。質問者さんは国際運転免許証は使えません。
留学生なら中長期の滞在者ですよね？。しかも、国際運転免許の有効期限がその日で、留学直前に取得したものなら、既に半年以上フロリダに居住していますよね？。フロリダ州では。6か月以上(条件により30日以上)の「居住者」は、フロリダ州発行の運転免許でしか自動車を運転できません。他州や外国の免許で運転できるのは、あくまで短期滞在者だけなのです。
国際運転免許証の法的な立場は「本国免許の翻訳文」に過ぎず、本国免許の有効期間が切れれば国際運転免許証は無意味になります。その期限が今月末です。すぐにでもフロリダ州の免許に切り替える必要がありますよ。
それと、フロリダ州に限らず米国の諸州では、国際運転免許証は単なる紙切れ扱いです。そもそも外国免許「だけ」で運転を認める規定があるので、西欧語で運転免許証であることが認識できれば、わざわざ国際運転免許証を取る必要がありません。欧米諸国は勿論、キリル文字しか書かれていないロシアなどの免許でも、そのまま運転できます。日本や台湾のような、免許証に西欧語の記載が一切ない国の免許所持者だけが、それを運転免許証だと理解して貰うために、国際運転免許証を併せ持っているのです。なので、交通取り締まりに当たる警察官や、レンタカー店の店員が、国際運転免許証の存在自体を知らない可能性まであります。樹脂製でもなくカードサイズでもない国際運転免許証はほぼ通用しません。

日本の免許証が切れたら、国際免許は無効です。6ヶ月以上、フロリダ州に住む場合、住民とみなされるので、フロリダ免許を取得しないといけません。