最近、就職してきた方が数年前に入院していて免許更新が期限内にできず、期限が切

最近、就職してきた方が数年前に入院していて免許更新が期限内にできず、期限が切れてから更新したそうです。完全に流れたわけではなく、期限が切れてから6ヶ月以内に更新したため講習等を受け
て再発行してもらったとのこと。
免許証を見ると普通自動車免許の取得日が4年ほど前の日付になっています。本人は運転歴20年以上たっていると言ってます。
本社にその旨伝え、免許証のコピーを見せたのですが、「元々の取得日を証明して下さい」との返信がありました。これはどこに行けば分かりますか？運転免許センターですか？警察ですか？

「免許更新が期限内にできず、期限が切れてから更新したそうです。完全に流れたわけではなく、期限が切れてから6ヶ月以内に更新したため講習等を受けて再発行してもらったとのこと」
いいえ。期限が切れると「更新」はできませんし「再発行」もできません。その人は、失効再取得の手続きで免許証を取り直したんですよ。
「免許証を見ると普通自動車免許の取得日が4年ほど前の日付になっています。本人は運転歴20年以上たっていると言ってます」
失効再取得ではそうなってしまいますね。
「免許証のコピーを見せたのですが、「元々の取得日を証明して下さい」との返信がありました。これはどこに行けば分かりますか？」
自動車安全運転センターに「運転免許経歴証明書」の発行を申請しましょう。それがあれば過去の免許歴が証明できます。

再発行ではなくて、再取得なので、再取得日の日付になります。
運転免許経歴証明書を取得すれば、失効前の履歴も記載されます。