有効期限切れの免許証の更新 - 免許証の住所変更をせず、気づけば一月

有効期限切れの免許証の更新
免許証の住所変更をせず、気づけば一月で有効期限が切れていました。
調べたところ半年以内であれば更新できるとのことですが、、
警察での住所変更が先か、免許更新が先か、教えてください。

免許証の有効期限が切れたら、免許証記載事項の変更や更新など一切できません。
できるのは新規に免許証取得だけです。
旧免許証失効から半年以内であれば、学科試験と実技試験のすべてが免除されて再取得できます。
住民票などの必要な書類を入手してから運転免許試験場へ行ってください。

「調べたところ半年以内であれば更新できる」
いいえ。有効期限が切れた免許証は無効で、もう更新も住所変更もできません。「半年以内」云々は、再取得する場合に失効から半年以内なら無試験でいい、と言う特例の話です。
「警察での住所変更が先か、免許更新が先か、教えてください」
更新も住所変更もできません。再取得は免許の取得し直しなので、警察署では何もできません。具体的にどこで手続きができるかは都道府県により異なりますが、通常は運転免許試験場に平日に行く必要があります。免許の取り直しなので、住民票の写しの提出が必要で、免許証に記載される住所はそれで決まりますから、従前の免許証の住所がどこであったかはもう関係ありません。

失効してしまったら更新はできません。失効手続きによる再取得とならります。
本籍記載の住民票の写し、失効免許証、写真など必要なものをもって、住民票の住所を所管する運転免許試験場に行ってください。
再取得さた免許証は新しい住所になります。

免許更新時に住所変更すればいいです、住民票を忘れずに。
まずは管轄の免許センターに連絡してください。
https://www.driving-license-mag.com/shikkou.html
マイカーで更新には行かないように、無免許運転になります。