写真が嫌だということで、免許証の再交付ができるようになったそうですが、再交付し

写真が嫌だということで、免許証の再交付ができるようになったそうですが、再交付したときにゴールドの条件を満たしていたら、再交付してもらった新しい免許証はゴールド免許に変わりますか？
なるとか、ならない、そのままです、と言うような、説明がある警察のサイトとかありますか？従弟が、写真も変えて新しく免許証を作るんだから、なるんじゃないかと言い張るもんで（笑）

現行化されるもの
…住所、氏名、写真、免許の条件、運転免許番号(紛失等で旧運転免許証を提出出来ない場合に限る。)
不変のもの
…有効期間、運転者区分(帯の色)、取得年月日、交付年月日

再交付では更新期限は変わりませんので、ゴールドにはなりません。

「再交付してもらった新しい免許証はゴールド免許に変わりますか？」
なりません。再交付では、免許証の帯色や有効期限は変わりません。免許証の帯色と有効期限が変わるのは、更新または併記の場合です。
「従弟が、写真も変えて新しく免許証を作るんだから、なるんじゃないか」
免許証を作り直さざるを得ない場合に作り直すのが、再交付の手続きです。あくまで今の免許証の作り直しなので、それまで裏書で済ませていた住所変更や限定解除などの内容は表面に記載されますが、それ以外の記載内容は変わりません。帯色も有効期限もそのままです。
「説明がある警察のサイトとかありますか？」
見せるための証拠が欲しい訳ですね。とは言っても、具体的に端的に解説しているサイトについては心当たりがないですね。
免許証の有効期間についての規定は道路交通法92条の二に規定されていますので、公式な説明が必要なら電子政府のサイトを検索して該当の条文を拾って印刷すればいいでしょう。法律特有の面倒な表現になっていますので、素人には注釈を入れてやった方がいいでしょう。
免許証の有効期限は「満了日等」から規定回数後の誕生日の1か月後、と規定されています。この満了日と言うのは、法でこう規定されています。
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第百一条第六項の規定(注・通常の更新)により更新された免許証にあつては更新前の免許証の有効期間が満了した日、第百一条の二第四項の規定(注・期限前更新)により更新された免許証にあつては同条第三項の規定による適性検査を受けた日、その他の免許証にあつては当該免許証に係る適性試験を受けた日
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再交付手続きの場合は「その他の場合」になりますが、再交付手続きでは適性検査は行われませんので、基準となる「満了日等」は、それ以前に適性試験・検査を受けた日、つまり直前の新規または併記の手続き日になります。
帯色についても、優良運転者に該当する人がゴールドになりますが、詳細は道交法第37条の七で規定があり、詳細は省きますが最後の適性試験日が基準です。
まとめると、帯色や有効期限は「適性試験・検査をした日」が基準で決まりますが、再交付手続きでは適性検査はしませんので、前回の適性検査の実施により決まっている免許証の帯色や有効期間は、再交付では変わらない、と言う事です。
この回答を印刷して納得しないようなら、あとは本人に任せて無視していればいいと思います。

なったりならなかったりでいいんじゃないですか。