本日免許センターで住民票を提出した際に - 丸い小さな穴が数カ所開けられ

本日免許センターで住民票を提出した際に
丸い小さな穴が数カ所開けられていました。
ですが本籍などは読める状態です。
次回免許センターに行く際にまたこの住民票は使えますか？

役所発行の証明書（住民票の写し等）の有効期限は3ヶ月です。
免許センターさん、良くその書類で受けてくれましたね。
本籍が記載されている、住民票の写しは受け付けない事になっています。
警察署では追い返されます。

その小さな穴って、住民票が複数枚（２枚綴り、とか）のために、ホッチキスで留められていて、２つのホッチキスの針の間に開いているのではないですか？
もしそうなら、その穴は役所で発行されたときに既についていたものです（複数枚に渡る場合に、ホッチキスを外して改ざんなどをされないようにつけられた穴）。ですから問題は何もありません。
次回免許センターに、というのはどういう意味かわかりませんが、免許などの場合は、６ヶ月以内のもの、のように期限が定められていたりします。期限内であれば問題なく使えるでしょう。（もちろん、あなたの住所が変わった、氏名とか本籍が変わった、などの場合は使えません）

住民票の写しが返されたと言う事は、試験に不合格だったのですかね？。具体的にどの場所に何か所、どんな穴が開けられたのが不明ですが、単にファイリング用の穴ではないかと推測します。必要な記載内容が読み取れるなら、無効扱いにはされないでしょう。