実家近くの自動車教習所を卒業する間際に県外に就職で引っ越し住所も県外へ移動しま

実家近くの自動車教習所を卒業する間際に県外に就職で引っ越し住所も県外へ移動しました。その場合、本試験はどちらで受けたらよいのでしょうか？
また、実家のある県で本試験を受け免許交付後
に住所変更をする事はできるのでしょうか？

免許の初取得なら、受験時に住民票の写しを提出しますが、その住所の都道府県でしか受験はできません。よって、質問者さんが本免許試験の際に、転居前と転居後のどちらの住民票の写しを提出する気でいるのかで「受けられる」都道府県は決まります。
既に転居済みであるなら、新住所の住民票の写しを取得して提出し、交付される免許証の住所を新住所にしておくべきですね。
旧住所のまま免許を取得した後も、新住所の証明書類があれば、住所変更の手続きはできます。ただし、住所変更では免許証は作り直さないので、免許証の裏面に新住所が追記されるだけです。

住民票のある都道府県の試験場での受験になります。
引っ越し先で住民登録をしたのならその地域を管轄している試験場で受けて交付となります。
住民登録がまだ実家なら実家のある地域の試験場で受けての交付となり、交付後に引っ越し先への住民登録なら後日住所変更になります。
教習所で卒検を合格しているなら他県でも問題無く学科試験だけで大丈夫です。