免許の経由更新をしたかったのですが、予約が埋まってしまっていて誕生日までに更

免許の経由更新をしたかったのですが、予約が埋まってしまっていて誕生日までに更新することはできそうにないです。経由更新は誕生日後は不可能ですよね？

「経由更新は誕生日後は不可能ですよね？」
はい。経由更新手続きは誕生日までしかできません。
「誕生日が土曜日で更新手続きができず、日曜日をはさみ、翌日の月曜日まで経由更新が可能とはならないでしょうか？」
残念ながらなりません。関連法規を後ろに引用しますが、翌平日まで有効とされる措置が行われるのは、免許証の有効期間の末日の場合です。経由更新手続きができる期間は法律で「誕生日」までと規定されていて、しかしその誕生日が休日である場合に翌平日まで手続きを可能とする規定は存在しません。
また、経由更新手続きでは、実際に免許証を作り直すのは遠方の都道府県で、窓口となる都道府県は、講習を代行し、書類を仲介するだけです。書類の往復に時間が必要であることから、手続きができる期間を1か月短くしている訳ですね。なので、経由更新の「末日」を翌平日まで延ばした場合、その余裕が失われる事になりますから、仲介する警察の立場では歓迎できる事ではありません。まあ、1か月もあるのに実際に余裕がないはずは無いだろう、とは思うのですが、これが理由となって、更新期間については行う翌平日までの延長の措置を、経由更新では取らない規定にしているのではないかと思います。
それと、経由更新手続きには、管轄の都道府県の証紙を事前に購入しておく必要がありますが、質問者さんは準備済みですか？。それが無いと、手続き窓口に行っても門前払いになりますよ。こういう制約があるので、経由更新手続きは使いづらいんですよね。
★更新が可能な「更新期間」と、経由更新が可能な期間の定め方。通常の更新は「有効期間」が終わるまでできるが、経由更新は誕生日まで。
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道路交通法 第101条 (免許証の更新及び定期検査)
免許証の有効期間の更新(略)を受けようとする者は、当該免許証の有効期間が満了する日の直前のその者の誕生日の一月前から当該免許証の有効期間が満了する日までの間（以下「更新期間」という。）に、その者の住所地を管轄する公安委員会に内閣府令で定める様式の更新申請書(略)を提出しなければならない。
道路交通法 第101条の2の2 (更新の申請の特例)
免許証の更新を受けようとする者のうち当該更新を受ける日において優良運転者に該当するもの(略)は、当該免許証の有効期間が満了する日の直前のその者の誕生日までに免許証の更新の申請をする場合には、(略)更新申請書の提出を、その者の住所地を管轄する公安委員会以外の公安委員会(略)を経由して行うことができる。
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★「有効期間」の規定。有効期間の末日には休日の場合に翌平日へ延ばす規定があるが、経由更新の基準は「誕生日」なので適用されない。
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道路交通法 第92条の2 (免許証の有効期間)
(略・免許証の有効期間の決め方の規定)
４ 前三項に規定する期間の末日が日曜日その他政令で定める日に当たるときは、これらの日の翌日を当該期間の末日とみなす。
道路交通法施行令 第33条の八 (免許証の有効期間等の特例の適用がある日)
法第九十二条の二第四項(略)の政令で定める日は、次に掲げるとおりとする。
一 土曜日
二 国民の祝日に関する法律（昭和二十三年法律第百七十八号）に規定する休日
三 十二月二十九日から翌年の一月三日までの日（前号に掲げる日を除く。）
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経由更新は誕生日までです。誕生日が休日でも翌営業日までの延長はありません。（福岡の場合です）
都道府県ごとで違うかどうかはわかりません。「経由更新」「~~県」で検索されてはいかがでしょうか？