仮免許証についてです。青森県の教習所に通っていて岩手県に住んでいて通っていて

仮免許証についてです。青森県の教習所に通っていて岩手県に住んでいて通っていて免許証は青森県から発行されるのか岩手県から発行されるのか知りたいです。
原付免許は持っています住所は岩手県です。わからないのでお願いします。

仮免は教習所発行だし県も考案も関係ない。

公認(公安委員会指定)教習所なら全国どこの教習所であっても手続き可能ですし、効力に差異はありません。
仮免許については教習所所在地の都道府県にて交付されますが、全国で練習目的の運転はできますし、住所地以外の都道府県での路上教習は有効です。
あなたの場合、
青森県の教習所で仮免許を取得し、
路上教習を受け、
卒業検定を受け、
卒業証明書の交付を受ける。
ここまでは全く問題ありません。
で、卒業証明書と仮免許証、運転免許証を持って、岩手県の運転免許試験場に行って、学科試験と適性試験に合格すればめでたく普通免許を取得できます。
卒業証明書、仮免許証は他の都道府県で交付されたものでも構いません。
私は、学生時代に地元静岡県で教習所に通って卒業しましたが、
日程の関係で地元受験を断念して、
住所変更した上で大阪府で受験し、免許を取得しました。
まとめます。
教習所、仮免許証交付については全国どこの都道府県でも効力は変わらないので問題はありません。
ただし、本免許は現住所地(岩手県)で受験しなければなりません。
当然、新しい免許証は岩手県での発行、交付になります。

指定教習所で仮免許試験を受ける場合は、教習所の所在地の都道府県の公安委員会からの受託業務になるので、青森県の教習所で受験したなら、青森県から発行されます。提出する住民票の写しの住所、もしくは所持している原付免許の記載住所とは関係ありません。
指定教習所ではなく運転免許試験場で受験する場合は、住民票の写し、または手持ちの運転免許証に記載されている住所のの都道府県でないと受験できず、仮免許証を発行するのもその都道府県です。

仮免許に関しては指定教習所に通って取得する場合は教習所の住所地を受け持つ都道府県警察本部長が発行を代行します。
例えば岩手県在住の方が青森県の指定教習所で仮免許試験に合格し、当該指定教習所経由で申請した場合は青森県警察本部長が発行者となります。
(仮免許は例外的に指定教習所所在地主義です)
但し、何らかの理由で仮免許試験を質問者様がお住まいの県、つまり一本木の運転免許試験場にて受験した場合は受験地の岩手県公安委員会が発行します。
(本来のスタイルです。)