運転免許の更新は、誕生日の前後1ヶ月内に警察署や免許センター

運転免許の更新は、誕生日の前後1ヶ月内に警察署や免許センターに手続きに行けばいいのであって、後日講習を受ける日はその期限を越えていても大丈夫ですよね？

その理解でいいですよ。ただし、今は免許証の有効期限が具体的な日付で記載されていますから、「誕生日の前後1か月」ではなく「有効期限の前2か月」と憶えておいた方がいいですね。
即日交付でない更新窓口で更新手続きを取る場合、適性検査を実施した日で更新は成立する扱いです。なので、講習と交付が後日になり、それが免許証に記載された有効期限を過ぎた日だとしても、更新自体は成立し、無免許にはなりません。講習を受けるまで交付が保留されているだけだ、と考えましょう。なお通常、その場合は旧免許証の裏面に、交付予定日付近まで免許証が有効である旨の記載がされて返されるので、新しい免許証の交付を受けるまでは、旧免許証で運転できます。

免許センターなら即日交付でしょうけど
警察署で後日講習を受けるとなると
受講した日が更新日にあたるので
誕生日の1か月を超えたら失効扱いになるかと思います。

講習を受けている間に免許証を作成するからダメだと
思います。

ダメじゃない？
だって初心者講習や優良講習とか受けて｢更新｣出来るのだから、
講習受けなきゃ｢更新｣できない＝期限内に更新されてないから
それは有効期限切れ＝失効じゃない？
失効して6ヶ月以内は、再取得が出来るけれども、それは失効後の再取得だから、更新ではない。講習を失効後に受けても更新はできない。