原付の運転免許証を紛失してしまい、その免許証の有効期限がおそらく過ぎ

原付の運転免許証を紛失してしまい、その免許証の有効期限がおそらく過ぎてしまっています。一応まだ、6ヶ月以内ではありますがこの場合はやはり再発行はできないのでしょうか？

そのまんまを、最寄りの警察署の交通課に相談しましょう。
｢免許証なくしてしまったんですが、もしかしたら期限過ぎてるかも知れません｣という旨を話せば良いと思います。
うっかり失効の場合は、再取得は出来ますが、｢やむを得ない理由がある場合｣に限ります。
入院をしていた、海外にいた、懲役行ってたなど、理由を申請して公安が認めた場合のみ再取得出来ます。
まあ、原付なら一日で取れるので取りに行った方が早いと思いますけどね。
色々手続き面倒臭いので。

運転免許証に「再発行」と言う手続きはなく、出来るのは「再交付」です。しかし、失効した免許の再交付はできません。
失効から6ヵ月以内であれば、無試験での再取得ができますが、この時に免許証が紛失していても、本人確認が出来れば再取得はできます。お住まいの都道府県名と「運転免許 期限切れ」で検索してみましょう。各都道府県の警察のホームページにある、失効再取得の手続きの案内ページが見つかるでしょう。

その前に警察に免許証の紛失届（遺失物届）を出しておきましょう。
免許証を拾われて悪用される可能性もあるので。

理由が必要ですが
6ヶ月以内なら新規発行になります。
長期の留学時代に免許更新ごとに新規発行でしたね。でも初心運転者扱いではありません。私はパスポートの出入国のハンコが押してあるページのコピーで新規発行してもらいました。