運転免許更新の際、に一緒に免許証の住所変更もしようと考えています。

運転免許更新の際、に一緒に免許証の住所変更もしようと考えています。
免許更新センターに連絡したら健康保険証があれば変更できると言われたので安心していたのですが、健康保険証の住所を見たらマンション名が記載されていなく~~号室の所だけしか記載されていませんでした。
この場合は免許証の住所変更は難しいでしょうか…？

警察が市販の住所情報データベース等を参照して「その住所にはマンションが建っているので、マンション名が無いと受け付けられない」、などと言う訳ではありません。提出された新住所の証拠書類を、そのまま新住所として受け入れるだけです。マンション名が記載されていないなら、記載されていないままになるでしょう。警察としては、それで郵便物が届きさえすれば構わないのであり、細かな住居表示の整合性など気にしません。
なので、質問者さんが、その運転免許証を使用して将来「現住所の証明」をする時に、マンション名が入った住所にしておきたい、と考えるなら、マンション名が入った新住所の証拠書類を用意する必要があります。

住民票と保険証（マイナンバーカードなら尚更いいかも）
も出せば大丈夫。