免許更新を土曜日1/9までにしなければいけません。一番都合がいいのは土曜日な

免許更新を土曜日1/9までにしなければいけません。一番都合がいいのは土曜日なのですが、土曜日に営業している運転免許センターは東京都にありますか？

もし、質問者様の運転免許証の有効期限が平成33年又は令和3年(2021年)1月9日まで有効と書いてあるならば、2021年1月9日は土曜日につき何処も更新手続き会場が開いてないので、有効期限は直後の開庁日つまり2021年1月12日火曜日までと読み替えられます。
なお、府中・鮫洲・江東の各運転免許試験場は日曜日に更新手続きは行っております。
詳しくは警視庁ホームページにて確認を。

存在しません。
なので1/8までに更新をされる必要があります。
東京都では、
・祝日を除く平日と日曜日
に更新が可能で、土曜日は対応していません。
下記は補足です。
1/9が免許証の有効期限かなと思います。
有効期限が過ぎれば運転不可能になるのは当然として、
もう通常の免許更新も不可能となります。
免許証失効後、６カ月以内であれば、
更新ではなく「特別新規申請」という手続きで
免許証を復活することになります。
これは更新ではなく、
・特別に試験なしで
・免許証を交付してあげる
という手続きなので、新免許の交付を受けるという
扱いとなります。
よって、
・講習は２時間
・必ず青３年免許になる
・免許所持歴、無事故無違反歴も
初日からやりなおし
ということになります。

土曜日はやってません。
有効期限満了日がお休みの日の場合、翌営業日まで更新可能です。

試験は年末年始土日祝日を除く平日の決められた時間
更新は年末祝日と土曜を除く平日と日曜の決められた時間
昔は日曜日は行われてなかった。

土曜日は東京都に限らず、どこもやってないですね。
１月９日までに更新する理由が免許証の有効期限であれば、
つまり、免許証の有効期限が１月９日（土）なら、有効期限と更新期間が自動的に１月１２日（火）まで延びるので、１０日（日）、１２日（火）でも更新可能ですよ。（法律で自動的に延長されているので、裏書とかが無くても失効しません。運転も１月１２日まで可能。）

土曜日に営業している運転免許センターは東京都にありますか？
土曜日は不可能
有効期限が土曜日
翌週・平日・月曜に更新手続可能