優良運転者の免許証の更新を最寄りの警察署で実施した場合、新し

優良運転者の免許証の更新を最寄りの警察署で実施した場合、新しい免許証の交付は3週間後と聞きました。
その間は運転はできないのでしょうか？
或いは仮の免許証を当日頂けるのでしょうか？

運転できますよ。
新免許証の交付は後日になりますが、返却する旧免許証の裏にその旨を記載されて新免許証を受け取るまで使用できます。
なので免許センターと違い２度出向くことになりますが、かなり混雑している免許センターよりも最寄りの警察署の方が近くて便利です。

警察署などで更新手続きはできるが、運転免許証の発行機械が設置されていないので、その場で免許証の作成が出来ず、運転免許試験場などに送付して作成する手順を踏むため、交付が数週間後になる、と言うのは、よくあるパターンですね。
ただし、運転免許の更新手続き自体は、適性検査を受けた時点で成立しますので、その後に交付が遅れても、無免許状態になる訳ではありません。ただ、新しい免許証の交付が遅れるだけです。運転を続けることは可能です。
この場合、わざわざ「仮の免許証」などを交付したりはしません。古い免許証を回収せず、裏面に交付予定日周辺まで有効期間を延長する旨の記載をして返します。その記載された期限までは、旧免許証で運転を続けられます。何かの事情でこう手に出向けず、その期限を過ぎてしまった場合も、免許証不携帯に問われるだけで、無免許運転には問われません。

更新手続き中
と裏書きに印が押されますので
その期限内は有効期限が延長されます