上京すると免許の住所も書き換えないといけませんか？

上京すると免許の住所も書き換えないといけませんか？

住民票を移したら書き換える必要があります。
(住民票は住んでいる所に置く義務がありますが、実際のところ実家に置いたまま一時的な転居をするのは黙認状態です。)

住民票を移すのであれば
免許証の住所も変更する義務があります
警察署で可能ですので何の問題もありません

運転免許証の住所は、現住所に一致させる法的義務があります。上京だろうが都落ちだろうが、転居したなら変更手続きをとる必要があるんですよ。一応、罰則付きの違法行為ですしね。
もっとも、それを怠ったからと言って検挙されるようなことは、暴力団関係者やカルト宗教関係者を微罪で別件逮捕する時くらいしか無いでしょうけどね。警察からの必要な通知文書が届かない、運転免許証が住所の証明として使えない、住所地近くで免許の更新手続きができない。などの不都合点があるでしょうが、それは手続きを怠っている本人の自己責任の範囲です。

自動車学校で習ったはずでしょう。速やかに変更しましょう。
持ち物
新住所が確認できるもの
住民票、マイナンバーカード、公共料金のお知らせなどいずれか。
印鑑
すみやかに警察署まで行ってらしゃい！

いろんなところで身分証として使いますが、住所の確認の意味もあるので現住所と違うとまずダメです。なので書き換えたほうがいいです。