運転免許を取って1年以内は手持ち点数が3点だと思うんですが、

運転免許を取って1年以内は手持ち点数が3点だと思うんですが、1年たったら3点＋何点かされるんですか？

「運転免許を取って1年以内は手持ち点数が3点だと思う」
いいえ。0点です。
「1年たったら3点＋何点かされるんですか？」
いいえ。0点です。
違反点数は、0点でスタートして、違反をする度に積み重なっていきます。その点数が一定基準に達したら、処分があるんですよ。1年3点と言うのは、初心運転者期間中にその点数に達したら処分がある、と言う基準の話であって、最初の1年間に持ち点が3点あると言う意味ではありません。

減点式ではなく加点式ですが、
1年以内に2回以上で3点以上もしくは4点以上になった場合、
初心者講習を受けなければなりませんが、1年経過するとそれを受けなくていいというだけです。
元々、前歴の無い人は6点以上で免停等の処分になります。
これは1年以内も1年以降も関係ないです。
但し、この点数は過去3年間の違反点数の合計です。
(3年以上前の違反の点数は計算されません)
また、1年間無違反の期間があるとそれ以前の点数も計算されません。
(特例で3年か月の場合もあります)
6点で免停等と言いましたが、
もっと点数が多いと免停の期間が長くなったり免許取り消しになったりします。
6点で免停等と言いましたが、
免停等の処分後は前歴が付き、
前歴があると前歴の回数により、
6点より少ない点数で、より長い免停や取り消しになります。
前歴も点数同様過去3年以内の免停等の前歴が計算対象です。
前歴も点数同様1年間無違反の期間があるとそれ以前の前歴は計算外になります。

持ち点・・・？最初は「0」では？

点数は減点方式ではなく、加点方式です。
違反の内容によって、加点されていき一定の基準に達すると行政処分を受けます。

そのような決まりはありません。
運転免許の点数は0点からの加点方式で、6点で免停、15点で取消となっています。
免許の種類によっては取得後１年間は初心者期間が設定されており、その間に違反点数が３点に達したとき(1回の違反で丁度３点になったときを除く)は講習を受けなければなりません。
講習を受けなかったり、講習を受けたあとにまた違反で３点つくと再試験を受けることになります。
再試験に不合格のときは運転免許取消です。(欠格期間なし)