仮免許の住所変更をすれば教習所に登録されてある住所も変更され

仮免許の住所変更をすれば教習所に登録されてある住所も変更されますか？

いいえ。仮免許は運転免許試験場の管轄ですが、そこで仮免許の住所変更手続きをしたからと言って、その情報が勝手に教習所に伝わったりはしません。