引っ越しを伴う免許証の更新について。 - 横浜市在住で、群馬県に引っ越します。

引っ越しを伴う免許証の更新について。
横浜市在住で、群馬県に引っ越します。
最近免許証更新のハガキがきて、
最寄りの警察署か免許証センターで更新と書いてありました。
更新を横浜でしてから、住民票の移動と、免許証の裏の住所変更をすればいいですか？それとも群馬で住民票を移してから更新という手もあるのでしょうか？
また即日発行ではなくても、新住所に新しい免許証を届けてくれるようなのでセンターではなくて、警察署で手続きするつもりですが、警察署の方からタイムラグがあるのでできるとは一概には言えないと言われて一旦折り返しになりました。何が問題なんでしょうか？

普通は住所変更前に更新手続きをして引っ越し後に住所変更をしに行きます。そうでないと面倒です。

祝 新生活
住所変更と更新の2つの手続きが重なるから確認が必要なのだと思います。
自分なら横浜の運転免許センターで更新は即日で済ませ、住所変更は群馬の警察でやります。