引っ越ししたら免許の住所を変えるというのを知らずに月日が経ち

引っ越ししたら免許の住所を変えるというのを知らずに月日が経ち、免許更新のハガキが実家に届いたのですが、住民票の写しをもって現住所の免許センターに行けば講習受けられますか？ちなみに初回の講習です。
調べたのですが、ちょっとわかりにくくて・・・。一度警察署で免許証の住所変更をしてから行ったほうがよいのでしょうか？

免許更新のハガキに更新に必要な物が書いて有ります。もちろん、住所変更に必要な物も書いて有ります。
免許更新と同時に住所変更の手続きをする場合は現住所を確認できる物をご持参下さい。現住所に届いた郵便物でもOKです。

「住民票の写しをもって現住所の免許センターに行けば講習受けられますか？」
ええ。更新と住所変更は同時にできますからね。ただ、COVID-19 禍で更新窓口の運用時間や対象者が臨時に変わっていたり、予約制が取られていたりしますから、事前にホームページや電話で、可否や方法を確認しておいた方がいいですね。
実家に届いたはがきは、他県でも講習種別の確認に利用できますので、現住所まで転送して貰いましょう。
「一度警察署で免許証の住所変更をしてから行ったほうがよいのでしょうか？」
それでもいいですが、更新期間(有効期限の2か月前)に入っているなら、更新と住所変更をまとめてやってしまったほうが早いですね。事前に警察署で手続きをしたからと言って、通知はがきが新住所に再送されてくる訳ではありませんので。

郵便局に行き 配達住所の変更に行こう。

まとめてできる。