運転免許証を無くしたのですが、本日の受付は終了してて、明日か

運転免許証を無くしたのですが、本日の受付は終了してて、明日から入隊する都合で再発行にいけません。
更新が10月なのですが再発行した方がいいですか？
教習またすることになりますか？
自分を証明するものとしてなにを持っていけばいいでしょうか？
財布自体を落としたので、保険証なんかもありません

入隊するところに事情を話して、再交付したいということを申し入れるのがいいかと思いますが。自分の証明に何がいるかということですから。入隊後すぐに免許がいるかもしれませんし。
更新は別問題で、再発行しなくても更新は出来ます（再発行と更新を同時にやる）。

した方がよい。
まずは紛失届けをだす。
マイナンバーカードかパスポートは無い？

今、住民登録している役所へ行って、住民票を一通発行して貰って、それを証明書代わりにするしかないですよ。