運転免許証のうっかり失効の場合、（高齢者）教習所での講習後、最寄り

運転免許証のうっかり失効の場合、（高齢者）教習所での講習後、最寄りの警察署での手続きはできるのでしょうか。
免許センターへ出向かなければいけないのでしょうか？

警察署ではできません。試験場又は免許センターです。
免許センターは都道府県や内容によりますので問い合わせた方がいいでしょう。（警視庁では、コロナの影響と思われますが免許センターではできません）
失効後６カ月以内でしょうか？
失効してから6か月以内なら、技能試験・学科試験が免除されるので、手続き的には更新と同じですが、失効は更新と違って、新たに免許試験を受けることになるので、1種目ごとに試験手数料1900円がかかります。
3種類の免許をお持ちなら試験手数料だけでが5700円になります。
失効してから６か月を経過し1年以内なら、仮免許技能試験・学科試験が免除されます（大型・中型・準中型・普通のみ）が、本試験は免除されませんので試験場で一発試験をうけるか、仮免許を持って教習所に通うかです。
失効して1年経過すると、全ての免除がなくなります。

失効してしまった場合は、理由はどうあれ「再取得」になりますので、警察署では出来ません。
試験場か免許センターです。
ご存知だと思いますが、無免許運転になるので免許センターへは車を運転して行かないようにして下さい。

失効してしまったのでは「更新」の手続きは取れず、「再取得」の手続きは通常、警察署ではできないと思いますよ。詳細は都道府県で違うでしょうから、住所地の都道府県の警察のホームページで確認しましょう。