運転免許証のコピーを会社に提出後、勤務している間に有効期限がきて、更新して

運転免許証のコピーを会社に提出後、勤務している間に有効期限がきて、更新しているかなど、会社側が本人に確認すべきでしょうか？

会社のルールに従うべき。
つまり会社が確認のルールを設けていたら確認すべきですし、
そんなルールが無ければ確認する必要は無いと思います。
私が勤めている会社では、月に１回の確認が有ります（私が確認しているのですが、非常に面倒です・・・）。

運転免許証のコピーが必要な会社という事は運転に関する業界だと思います。
という事は仮に社員1人が有効期限切れ→無免許運転が発覚となったらどうなるでしょう。
当然本人の責任にもなりますが、『本人に更新させるよう命令していなかった』という責任が会社に掛かったり、『知らなかった』では済まされなくなります。
某議員さんのように無免許運転発覚は敏感になるべきです。

ええ。本人が申告を怠る可能性を考えれば、勤務先も現状把握に努めるべきですよね。例え企業の責任ではないにしても、不祥事で「知らなかった」「確認していなかった」の言い訳はみっともないですから。

運転のお仕事ならそうするべきだと思います。
営業程度なら個人に任せるべきだと思います。