初めての免許更新なのですが - 免許更新の日までに住所変更を

初めての免許更新なのですが
免許更新の日までに住所変更を予定しています
住所変更は免許センターでもできるとかいてありましたが
市役所で住所変更をして
数日後に免許更新に行って免許証の住所変更をするでも
大丈夫なのでしょうか？
本来なら市役所で住所変更の手続きをした後
警察署なので免許証の住所変更をすると思うのですが

運転免許センターでは更新と同時に
住所変更は出来ます。新しい住民票の写しが必要です。
警察署での住所変更は免許証の裏の備考欄に新しい住所が印字されます。
勿論新しい住民票の写しが必要です。
そして免許証の裏に印字された免許証を持って運転免許センターで更新
をすれば免許証に新しい住所が記載されます。