運転免許証の更新に関して運転免許証の更新連絡書が届きました。通常であれば記載の

運転免許証の更新に関して
運転免許証の更新連絡書が届きました。
通常であれば記載の場所で講習を受け更新すると思うのですが、来月引っ越す予定があります。
現住所で講習を受けて、また引っ越して変更手続きに行くのはめんどくさいため、
更新と住所変更を同士に行うことは可能なのでしょうか？

可能です。
新住所の住民票の写しを新住所の役場で発行してもらい
それを更新時に持参すれば更新と免許証の住所変更が同時にできます。
新しく交付された免許証には新住所が記載されます。

可能です。
転居先で住所変更を証明する書類(住民票の写しなど)を持参すると、更新と住所変更を一回の手続きで可能です。
もちろん、新しい免許証の住所欄には新しい住所が記載されます。
もし、更新→住所変更と分けると、新しい免許証の裏面に新住所を手書きされて公印を捺されます。