免許証に記載の住所を変更する時、合わせて証明写真の撮り直しもできま

免許証に記載の住所を変更する時、合わせて証明写真の撮り直しもできますか？

「合わせて」はできませんが、同時に申し込むことはできます。
手続き的には、まず記載事項変更の手続きをし、次に再交付の手続きをすることになりますが、旧免許証にいちいち裏書をせず、新しい免許証になって戻ってきます。

警察署でやる記載事項の変更なら写真は変更出来ません。
これは無料で警察署で早くて10分程で終わります。
再交付の手続きをすれば写真は撮り直せます。
これは交付手数料2250円が必要です。
免許センターで即日再交付して貰えます。

写真は2,250円で変更できますよ。
紛失ではないから免許証番号が変わることもありません。
https://kuruma-news.jp/post/226598
先に住所の変更手続きしてから新しい免許を作り直しましょう。
(受付で言ったら同時にやってくれると思いますが)
写真はスマホで撮影したら安上がりですよ。
無背景にするならこのサイト
https://www.remove.bg/ja/upload
アプリをインストールする必要もありません。
画像を選び編集をタップして背景の色を選べます。
右上の「画像をアップロード」から保存します。
他の手順はこの動画が参考になりますよ。
https://www.youtube.com/watch?v=NrHvqPjnn_E

同時に再交付してもらう（有料）なら撮り直しです
裏面に記載（無料）ならもちろんそのまま

出来ません
既存の免許証の裏に新住所の判子を押されるだけです