運転免許証の更新について、本来は今年の6月13日が免許の更新

運転免許証の更新について、本来は今年の6月13日が免許の更新期限だったのですがコロナ特例で3ヶ月の延長申請をしました。
勝手な思い込みで9月末までの延長かと思い込んでいたのですが、先程免許証を確認したら9月13日になってました。
この場合、現状運転をした場合無免許運転になるのでしょうか？
また、免許取消になり、再度教習所に通い免許を取らなければないのでしょうか？

失効しているので、無免許状態です。
試験場で再取得手続きをしてください。

似たような経験をした人がいらっしゃいますよ。
https://youtu.be/OtFEec4uuzU

はい。
当然ですが無免許運転になります。
免許証は有効期限内だけ運転可能です。
質問者さんの免許証の有効期限は9月13日。
なので現在手元にある免許証は何の効力もなく、
今の質問者さんは純粋な無免許者です。
なので絶対に免許復活まで運転をしないでください。
もし運転をして検挙された場合は、
無免許運転として検挙されます。処分は以下となります。
①刑事処分
送検→起訴→裁判となり、
３年以内の懲役または50万以内の罰金を求刑される
②行政処分
犯行検挙日より最低２年間は
全運転免許取得が不可能となる。
＞免許取消になりますか？
というご質問がありますが、
質問者さんは現段階で
・無免許者＝取消し対象となる免許がない
ということなので、
免許証取消処分は発生しようがないです。
また、
もし今の状態で運転をして事故を起こした場合、
任意保険は完全補償しないか、まったく使えません。
無免許なので。
交通事故損害賠償金は簡単に数百万、数千万、１億円を
超えてきますので、そんな場合は人生終了します。
また、
無免許運転で人身事故を起こすと、
・無免許運転致死傷罪
という「最高懲役１２年の重罪」になります。
この犯罪では未成年初犯でも１発で刑務所での
懲役刑が求刑される可能性が高くなります。
以上が
・免許復活まで絶対に運転してはいけない理由
です。
最後に免許証復活の方法です。
もう有効期限が切れていますので、
もう免許証の更新をすることはできません。
ただし、来年3月13日まで、
つまり有効期限切れから半年以内であれば、
・特別に無試験で
・免許証を交付します
という「特別新規申請」の手続きが可能です。
なのでもう質問者さんは更新は不可能なので、
この「特別新規申請」の手続きを行って、
試験なしで新免許証交付を受けることになります。
必要書類などは、
・特別新規申請+お住まいの都道府県名
等と検索されれば５秒で確認可能です。
この手続きで交付される免許証は、
全くの新免許証となります。
なので、
・免許所持歴は最初からやりなおし
・無事故無違反歴も最初からやりなおし
・必ず青３年免許になる
・講習も２時間講習
ということになります。

現在失効しているので、運転はできません。
ですが、６ヶ月以内なら、失効後の手続きをすれば免許はちゃんと再取得できますよ。（教習所からスタートではありません）
貴方のお住いの都道府県の警察のサイトで、執行後の手続きについて書かれているので見てみてください。
下記は東京都の例です。
https://www.keishicho.metro.tokyo.jp/menkyo/koshin/shikko/shikko01.html

ただ、再取得、になるので、取得日が変わってくる、ブルー免許になる、などはあったかと思います（６ヶ月以内、ならないかもしれません。）

既に回答されているように、取消は関係ありませんが、失効している状態なので、運転はしないように。無免許運転に問われます。失効再取得の手続きを取れば、無試験で再取得ができます。
なお、「失効から6ヵ月」の起点は、延長された9月13日からではなく、元の免許の期限の6月13日からです。よって、あと3ヵ月しかないので急ぎましょう。